ANNEXE 1[1]

Notions succinctes sur les gammes.

Les compositions musicales reposent sur des gammes définissant un ensemble de notes utilisables pour les compositeurs. Ainsi la gamme naturelle, issue de la culture occidentale, est bâtie sur 7 sons, elle a été étudiée par Pythagore, Zarlin, Ohm, Fourier, Helmholtz. On peut distinguer différents tempéraments, c’est-à-dire différentes répartitions des notes selon les époques, les compositeurs ou les instruments utilisés. Certains compositeurs contemporains utilisent d’autres gammes, notamment une gamme chromatique bâtie sur 12 notes (Schönberg, Webern, musique sérielle), d’autres utilisent des micro-intervalles...

On définit ces gammes à l’aide d’une fréquence de référence et par des rapports de fréquence par rapport à la référence.

Le principe fondateur pour construire la gamme naturelle est de rechercher les consonances entre différents sons. La théorie de Helmholtz[2] considère que deux sons sont consonants si leurs spectres harmoniques ont des taux de recouvrements important, c’est-à-dire si l’on retrouve beaucoup d’harmoniques communes dans les deux spectres. Ce taux de recouvrement des spectres dépend beaucoup du rapport des fréquences fondamentales. En effet, le spectre d’un son de fondamental f₁ contient en général les harmoniques 2f₁, 3f₁, 4f₁..... Si on considère deux sons de fondamentaux f₁ et f₁’=2f₁, les harmoniques du son le plus aigu coïncident exactement avec les harmoniques paires du son le plus grave. Ces deux sons ont une bonne consonance, on considère que l’une est la transposée à l’octave de l’autre. Alors si le la3 a pour fréquence fondamentale 440Hz, le la4, à l’octave supérieure a pour fréquence fondamentale 880Hz et le la2, à l’octave inférieure a pour fréquence fondamentale 220Hz.

Au contraire, le degré de consonance diminue lorsque le rapport numérique entre les fréquences fondamentales des deux sons devient plus complexe et, corrélativement, la sensation de présence de deux notes devient plus forte. C’est en particulier le cas des sons de fréquences fondamentales 3f₁ et 5f₁... qui tout en restant dans une certaine consonance, diffèrent suffisamment pour être considérés comme des notes musicales différentes. Ce sont précisément ces fréquences qui sont utilisées comme «définition » des notes dans la gamme de Zarlin. Ainsi l’accord parfait majeur est composé de trois sons de fondamentaux f₁, 3f₁ et 5f₁. La note de fréquence f₁ étant dénommée la tonique, celle de fréquence 3f₁, ramenée à l’octave en divisant par 2, 3f₁/2 étant la dominante et celle de fréquence 5f₁, ramenée à l’octave en divisant par 4, 5f₁/4 représentant la médiante.

On ramène tous les intervalles à des rapports compris entre 1 et 2 pour que toutes ces notes soient regroupées entre la tonique et son octave.

On construit alors la gamme en plaçant les 3 notes formées par l’accord parfait majeur ramenées à l’octave. Puis la dominante est considérée comme la note de base d’un second accord parfait majeur, les notes étant ramenées à l’octave, on trouve les fréquences suivantes : 5/4*3f₁/2 = 15f₁/8, 3/2*3f₁/2=9f₁/8. Enfin la tonique du 1^er accord peut être considérée comme la dominante d’un nouvel accord parfait majeur, dont les fréquences, ramenées à l’octave sont 4f₁/3 et 5f₁/3.

La succession des notes ainsi engendrées constitue la gamme diatonique majeure de Zarlin. Placées dans l’ordre croissant, en prenant do comme note de base, on obtient la suite :

Notes	do	ré	mi	fa	sol	la	si	do
Fréquences	f1	9f1/8	5f1/4	4f1/3	3f1/2	5f1/3	15f1/8	2f1
Rapport à f1	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2

ton maj ton min _1/2ton dia ton maj ton min ton maj _1/2ton dia

Les rapports de fréquences entre sons voisins permettent ensuite de définir les intervalles nommés ton majeur (9/8), ton mineur (10/9) et demi-ton majeur (ou diatonique) (16/15) auxquels pour compléter on peut ajouter un demi-ton mineur (ou chromatique) (25/24). On peut alors définir des notes intermédiaires en ajoutant dans les intervalles séparés par un ton les notes définies en ajoutant(#) ou en retirant (b) un demi-ton chromatique.

Changer l’ensemble des notes d’une œuvre en respectant les intervalles, c’est-à-dire transposer, revient à multiplier toutes les fréquences par un même nombre. Mais en procédant ainsi avec la gamme de Zarlin, on est conduit à introduire des sons nouveaux et donc à appeler du même nom des sons légèrement différents, cette incompatibilité entre les exigences des consonances et celle des transpositions conduit à des « compromis » consistant à accepter des consonances moins grandes pour autoriser davantage de modulations. On a donc élaboré de nombreux systèmes désignés sous le nom de tempéraments inégaux.

L’usage des claviers et des premiers instruments électroniques a notamment amené à définir la gamme à tempérament égal dans laquelle l’octave conserve sa définition initiale mais est divisé en douze demi-tons identiques. Le rapport des fréquences entre 2 notes espacées d’un tel demi ton étant 2^1/12, et celui pour deux notes espacées d’un ton 2^1/6.

On construit alors la gamme de do majeur en tempérament égal :

do	ré	mi	fa	sol	la	si
f1	2^1/6f1	2^1/3f1	2^5/12f1	2^7/12f1	2^3/4f1	2^11/12f1

On rencontre évidemment de nombreux autres systèmes mais en s’appuyant sur la gamme à tempérament égal par exemple, on peut maintenant définir les notes par la fréquence de leur fondamental.

En choisissant comme référence le la3 à 440Hz, on obtient les « définitions » suivantes pour les différentes notes :

Note	Fréquence du fondamental en Hz
Do3	261,6
Ré	293,7
Mi	329,6
Fa	349,2
Sol	392,0
La3	440
Si	493,9
Do4	523,2
Ré	587,3
Mi	659,3
Fa	698,5
Sol	784,0
La	880
Si	987,8

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[1] voir bibliographie [ Beaufils, Grente] p1107

[2] voir bibliographie [Jean Pierre Dalmond]